Histoire et raisonnement

Les fractales: beautés géométriques naturelles

Le chou romanesco a une forme incroyable. C’est un bel exemple de fractale dans la nature. Image : sergojpg - stock.adobe.com

Les fractales sont des formes incroyables qui se répètent à l'infini dans la nature. Que peuvent bien avoir en commun un chou et un flocon de neige ? Si tu veux le découvrir et construire toi-même un flocon, cet article tombe à pic.

Un chou romanesco

Dans un chou romanesco, une même forme géométrique se répète à différentes échelles. Image : Ivar Leidus, Wikimedia Commons, licence CC BY-SA 4.0 Deed.

Les fractales sont des formes géométriques qui se répètent à différentes échelles. Cela signifie qu'une partie d'une fractale ressemble à l'ensemble de la fractale elle-même. C'est un peu comme si tu avais le dessin d'un arbre, puis que tu zoomais sur une branche de l'arbre et que cette branche ressemblait à l'arbre entier.

 

Le chou romanesco, fractale à déguster !

Le chou romanesco est un légume qui ressemble à une fleur. Il a une forme très particulière avec des branches qui se ramifient à partir d'un centre commun. Si tu regardes de plus près, tu peux voir que chaque petite branche a la même forme que la grande branche.

 

Premières étapes de la courbe de Koch

Les premières étapes pour construire la courbe de Koch.
Illustration : Rédaction SimplyScience.ch

Le flocon de Koch, un exemple de fractale à construire toi-même

Les flocons de neige sont d’autres exemples de fractales présentes dans la nature. Regardons de plus près un flocon particulier dit de Koch.

Ce flocon a été inventé au début du XXe siècle par un mathématicien suédois qui s’appelait Helge von … Koch ! On va le construire pas à pas !

On va d’abord s’intéresser à la courbe de Koch :

  1. Trace une ligne. Puis divise-là en trois segments (parties égales).
  2. Ensuite dessine un triangle équilatéral (les trois côtés sont de même longueur). La base du triangle se trouve sur le segment du milieu (entre les points verts).
  3. Supprime le segment du milieu. Autrement dit, efface le trait entre les deux points qui forment la base du triangle.
Suite de la construction de la Courbe de Koch

Suite de la construction de la courbe de Koch.
Illustration : Rédaction SimplyScience.ch

 

La forme que tu obtiens se compose maintenant de quatre segments. Répète l’opération sur chacun des segments :

  1. Divise chaque segment (entre les points gris) en trois parties égales.
  2. Dessine quatre triangles équilatéraux, un au milieu de chaque segment (points verts).
  3. Efface la base des triangles.

Construction du flocon de Koch. Animation : António Miguel de Campos / Wikimedia Commons, domaine public

 

Le flocon de Koch est obtenu en partant d’un triangle équilatéral et en appliquant la méthode décrite ci-dessus à chacun des côtés du triangle.

On répète l’opération sur chacun des segments obtenus.

Partie de l’ensemble de Mandelbrot

Une partie de l’ensemble de Mandelbrot. C’est joli, non ? Image : Wolfgang Beyer / Wikimedia commons, licence CC BY-SA 3.0 DEED

Petite histoire du terme fractal

L’inventeur du terme et du concept « fractal » est Benoît Mandelbrot en 1975. «Fractal» vient du latin «fractus» qui signifie «brisé», «irrégulier».

Il est connu pour l’ensemble de Mandelbrot sur lequel il a travaillé.

Regarde ces magnifiques motifs fractals obtenus grâce à des calculs compliqués à partir de cet ensemble !

Applications artistiques et scientifiques des fractales

On peut imaginer des applications concrètes comme utiliser les fractales pour créer des motifs pour des vêtements ou pour des décorations. On pourrait aussi imaginer composer de la musique grâce à elles.

Les fractales sont aussi utilisées dans divers domaines scientifiques tels que la météorologie (flocons, nuages, cyclones, éclairs), en médecine (vaisseaux sanguins des poumons, intestin) et même en finance !

 

Prêt à reconnaître des fractales et à les admirer partout où tu iras ?

Texte : Rédaction SimplyScience.ch

Sources :
(1) Les fractales et l'exemple du flocon de Koch, BIBMATHS, 2022
(2) Allan Ross, La nature fractale de notre Monde : 1. Les fractales dans la nature, 2013
(3) Wikipedia, Fractal
(4) S. Lovejoy Eerm/Crmd & B. B. Mandelbrot Ibm (1985) Fractal properties of rain, and a fractal model, Tellus A: Dynamic Meteorology and Oceanography, 37:3, 209-232, DOI: 10.3402/tellusa.v37i3.11668
(5) Mathigon, Fractals, The Mandelbrot set

Créé: 12.10.2023
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